Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

(1)ΔABF与ΔADE相似吗？说说你的理由．

(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．

(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）相似，理由见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，再由已知条件和邻补角的性质得出∠AFB=∠D，即可得出△ABF∽△EAD；

（2）先证出为直角三角形，由直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半可得，设，结合已知根据勾股定理可列出方程，解方程即可求得结果；

（3）由△ABF∽△EAD，得出，即可求出BF．

解：（1）相似，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，

∵∠BFE=∠C，

∴∠BFE+∠D=180°，

又∵∠BFE+∠AFB=180°，

∴∠AFB=∠D，

∴△ABF∽△EAD；

（2）∵AB∥CD，BE⊥CD，

∴BE⊥AB，则∠ABE=90°，为直角三角形，

∵∠BAE=30°，

∴，

∵，设，则，由勾股定理得：

，即，

解得：，

∴；

（3）由（1）得：△ABF∽△EAD，

∴，

∵AD=3，，，

∴，

∴．