Question

【题目】如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，CD，

∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD= BC=2，BD=BCcos30°=2 ，
∴AD=BD=2 ，AB=2BD=4 ，
∴S△ABC= ABCD= ×4 ×2=4 ，
∵DE⊥AC，
∴DE= AD= ×2 = ，
AE=ADcos30°=3，
∴S△ODE= ODDE= ×2× = ，
S△ADE= AEDE= × ×3= ，
∵S△BOD= S△BCD= × S△ABC= ×4 = ，
∴S△OEC=S△ABC-S△BOD-S△ODE-S△ADE=4 - - - = ．
【解析】（1）连接OD，CD，由BC为⊙O的直径，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，进而可证得垂直，得出切线；（2）根据三角函数的定义，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面积，进而求出面积．