【题目】探索与拓展应用,
已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.
【答案】
(1)解:证明:∵菱形AFED,
∴AF=AD,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°=∠DAF,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC,
即①BD=CF,②AC=CF+CD
(2)解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD,
理由是:由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中
,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,
∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,
即AC=CF﹣CD
(3)解:AC=CD﹣CF.理由是:
∵∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠DAB=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中
,
∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,
∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC,
即AC=CD﹣CF
【解析】(1)由菱形的性质证得AF=AD,根据等边三角形的性质证得∠BAD=∠CAF,即可证得△BAD≌△CAF,得出CF=BD即可求得AC=CF+CD.
(2)借鉴(1)的方法,证得AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,然后根据三角形全等求得BD=CF,即可证得AC=CF-CD.
(3)可运用(1)、(2)的思路方法.
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【题目】平面直角坐标系中,已知点A(0,10),点P(m,10),连接AP、OP,将△AOP沿直线OP翻折得到△EOP(点A的对应点为点E).若点E到x轴的距离不大于6,则m的取值范围是_____.
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【题目】一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( ).
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
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【题目】我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.
例如:由图1可得到(a+b)=a+2ab+b.
图1 图2 图3
(1)写出由图2所表示的数学等式:_____________________;写出由图3所表示的数学等式:_____________________;
(2)利用上述结论,解决下面问题:已知a+b+c=11,bc+ac+ab=38,求a+b+c的值.
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【题目】如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)证明:DE为⊙O的切线;
(2)连接OE,若BC=4,求△OEC的面积.
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【题目】 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上一点,连结AE、BD且AE=AB
(1)求证:∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.
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【题目】射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位:环):
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 平均成绩 | 中位数 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 | 9 | ① |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 | ② | 9.5 |
(注:方差公式 .)
(1)完成表中填空①;②;
(2)请计算甲六次测试成绩的方差;
(3)若乙六次测试成绩的方差为 ,你认为推荐谁参加比赛更合适,请说明理由.
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【题目】阅读与应用:
阅读1:a、b为实数,且a>0,b>0,因为 ,所以 ,从而 (当a=b时取等号).
阅读2:函数 (常数m>0,x>0),由阅读1结论可知: ,所以当 即 时,函数 的最小值为 .
阅读理解上述内容,解答下列问题:
(1)问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为 ,周长为 ,求当x=时,周长的最小值为 .
(2)问题2:已知函数y1=x+1(x>-1)与函数y2=x2+2x+17(x>-1),当x=时, 的最小值为 .
(3)问题3:某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分:一是教职工工资6400元;二是学生生活费每人10元;三是其他费用.其中,其他费用与学生人数的平方成正比,比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时,该校每天生均投入最低?最低费用是多少元?(生均投入=支出总费用÷学生人数)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,的四个顶点分别为,,,.
(1)作,使它与关于原点成中心对称.
(2)作的两条对角线的交点关于轴的对称点,点的坐标为_______.
(3)若将点向上平移个单位,使其落在内部(不包括边界),则的取值范围是_______.
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