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【题目】探索与拓展应用,
已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD;

(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;

(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.

【答案】
(1)解:证明:∵菱形AFED,
∴AF=AD,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°=∠DAF,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC,
即①BD=CF,②AC=CF+CD
(2)解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD,
理由是:由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,
∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,
即AC=CF﹣CD
(3)解:AC=CD﹣CF.理由是:
∵∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠DAB=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,
∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC,
即AC=CD﹣CF
【解析】(1)由菱形的性质证得AF=AD,根据等边三角形的性质证得∠BAD=∠CAF,即可证得△BAD≌△CAF,得出CF=BD即可求得AC=CF+CD.
(2)借鉴(1)的方法,证得AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,然后根据三角形全等求得BD=CF,即可证得AC=CF-CD.
(3)可运用(1)、(2)的思路方法.

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第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

平均成绩

中位数

10

8

9

8

10

9

9

10

7

10

10

9

8

9.5

(注:方差公式 .)
(1)完成表中填空①;②
(2)请计算甲六次测试成绩的方差;
(3)若乙六次测试成绩的方差为 ,你认为推荐谁参加比赛更合适,请说明理由.

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