Question

19．将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，如此循环进行下去．请将下表中空缺的数据填写完整，并解答所提出的问题：

操作次数	1	2	3	4	…
正方形个数	4	7			…

（1）如果剪100次，共能得到301个正方形．
（2）如果剪n次共能得到b_n个正方形，试用含有n、b_n的等式表示它们之间的数量关系．
b_n=3n+1；
（3）若原正方形的边长为1，设a_n表示第n次所剪的正方形的边长，
①试用含n的式子表示a_n=a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
②试猜想a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n与原正方形边长的数量关系，并用等式写出这个关系：1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
（4）运用第（3）题的结论，求$\frac{2}{3}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\frac{23}{24}+\frac{47}{48}+\frac{95}{96}+\frac{191}{192}+\frac{383}{384}+\frac{767}{768}$的值．

Answer 1

分析 （1）（2）观察图形及表格发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，据此填表即可；根据得到的规律得到通项公式，然后代入求值即可；
（3）①根据每次将边长一分为二即可得到答案；
②结合图形得出答案即可；
（4）利用发现的规律，代入数值即可求得答案．

解答 解：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，
剪两次有7个小正方形，
剪三次有10个小正方形，
剪四次有13个小正方形，
规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，
故第n个共有4+3（n-1）=3n+1个，
（1）令n=100得3n+1=3×100=301；
（2）剪n次共能得到b_n个正方形，则用含有n、b_n的等式表示它们之间的数量关系为b_n=3n+1；
（3）①第一次所剪的正方形的边长为$\frac{1}{2}$，
第二次所剪的正方形的边长为（$\frac{1}{2}$）²；
第三次所剪的正方形的边长为（$\frac{1}{2}$）³，
…
第n次所剪的正方形的边长a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
②a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（4）$\frac{2}{3}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\frac{23}{24}+\frac{47}{48}+\frac{95}{96}+\frac{191}{192}+\frac{383}{384}+\frac{767}{768}$
=9-$\frac{1}{3}$×[1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）⁸]
=9-$\frac{1}{3}$×（1+1-$\frac{1}{{2}^{8}}$）
=9-$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{768}$
=8$\frac{257}{768}$．

点评 本题考查了图形的变化类问题，找到规律并用通项公式表示出来是解决本题的关键．