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【题目】如图,四边形ABCD为矩形,E为BC边中点,以AD为直径的O与AE交于点F.

(1)求证:四边形AOCE为平行四边形;

(2)求证:CF与O相切;

(3)若F为AE的中点,求ADF的大小.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)30°.

【解析】

试题分析:(1)根据矩形的性质得到ADBC,AD=BC,ADC=90°,由E为BC边中点,AO=DO,得到AO=AD,EC=BC,等量代换得到AO=EC,AOEC,即可得到结论;

(2)利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形,进而得出ODC≌△OFC(SAS),求出OFCF,进而得出答案;

(3)如图,连接DE,由AD是直径,得到AFD=90°,根据点F为AE的中点,得到DF为AE的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得到DE=AD,推出ABE≌△DCE,根据全等三角形的性质得到AE=DE,推出三角形ADE为等边三角形,即可得到结论.

试题解析:(1)四边形ABCD是矩形,

ADBC,AD=BC,ADC=90°,

E为BC边中点,AO=DO,

AO=AD,EC=BC,

AO=EC,AOEC,

四边形OAEC是平行四边形;

(2)如图1,连接OF,

四边形OAEC是平行四边形

AEOC,

∴∠DOC=OAF,

FOC=OFA,

OA=OF,

∴∠OAF=OFA,

∴∠DOC=FOC,

ODC与OFC中,

∴△ODC≌△OFC(SAS),

∴∠OFC=ODC=90°,

OFCF,

CF与O相切;

(3)如图2,连接DE,

AD是直径,

∴∠AFD=90°,

点F为AE的中点,

DF为AE的垂直平分线,

DE=AD,

ABE与RDCE中,

∴△ABE≌△DCE,

AE=DE,

AE=DE=AD,

三角形ADE为等边三角形,

∴∠DAF=60°,

∴∠ADF=30°.

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