Question

如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y= （k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．                                                                                                      

（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=　   　；                                                                      

（2）连接CA，请问DE与CA是否平行？请说明理由；                                                                   

（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．                                                                                                                

             

Answer 1

解：（1）连接OE，如，图1，

∵Rt△AOE的面积为2，     ∴k=2×2=4．………………3分

（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=5﹣，

=，

∴        ∴DE∥AC．………………6分

（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，

BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．

作EF⊥OC，垂足为F，如图2，

易证△B′CD∽△EFB′，

∴，即=，

∴B′F=，

∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，

∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，

在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，

由勾股定理得，CB′²+CD²=B′D²，

（5﹣）²+x²=（3﹣x）²，

解这个方程得，x₁=1.5（舍去），x₂=0.96，

∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．………………10分