Question

某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式；
（2）把S=30代入累计利润S=

1

2

t²-2t的函数关系式里，求得月份；
（3）分别t=7，t=8，代入函数解析S=

1

2

t²-2t，再把总利润相减就可得出．

解答：解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，-2），
故可设其函数关系式为：S=a（t-2）²-2．
∵所求函数关系式的图象过（0，0），
于是得：
a（0-2）²-2=0，
解得a=

1

2

．
∴所求函数关系式为：S=

1

2

（t-2）²-2，即S=

1

2

t²-2t．
答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S=

1

2

t²-2t；

（2）把S=30代入S=

1

2

（t-2）²-2，
得

1

2

（t-2）²-2=30．
解得t₁=10，t₂=-6（舍去）．
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．

（3）把t=7代入关系式，
得S=

1

2

×7²-2×7=10.5，
把t=8代入关系式，
得S=

1

2

×8²-2×8=16，
16-10.5=5.5，
答：第8个月公司所获利是5.5万元．

点评：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．