Question

如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=.
（1）△AFB 与△FEC有什么关系？ 试证明你的结论。
（2）求矩形ABCD的周长。

Answer 1

解：（1）△AFB∽△FEC. 
证明：由题意得：∠AFE=∠D=90° 又∠B=∠C=90° ∴∠BAF+∠AFB=90° , ∠EFC+∠AFB=90°
∴∠BAF=∠EFC    ∴   AFB∽△FEC
（2）设EC=3x,FC=4x，则有DE="EF=5x" ，∴AB="CD=3x+" 5x=8x
由△AFB∽△FEC得：    即： = ∴BF=6x  ∴BC="BF-CF=6x+" 4x= 10x
∴在Rt△ADE中，AD=BC=10x，AE=，则有
解得（舍去）  ∴AB+BC+CD+DA=36x=36(cm)   答：矩形ABCD的周长为36cm.

（1）由四边形BCD是矩形，可得∠AFE=∠D=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAF=∠EFC，即可证得：△AFB∽△FEC；
（2）由Rt△FEC中，tan∠EFC=，可得，则可设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．继而求得BF与BC，则可求得k的值，由矩形ABCD的周长=2（AB+BC）求得结果．