Question

已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（2，-5），B（5，1）．在同一个坐标系内画出满足下列条件的点（保留画图痕迹），并求出该点的坐标．
（1）在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小；
（2）在x轴上找一点D，使得AD-BD的值最大．

Answer 1

解：（1）C点如图1所示（或作B关于y轴的对称点B′，连结AB′交y轴于点C）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）．
∵B（5，1），
∴B′（5，-1）．
又∵A（2，-5），
∴，
解得，，
∴AB′直线解析式：y=-x-，
∴点C的坐标为（0，-）；

（2）D点如图所示，（作点B关于x轴的对称点B₁，连结AB₁延长交x轴于点D）．
（理由：若A，B₁，D三点不共线，根据三角形两边之差小于第三条边可得：AD-B₁D＜AB₁，所以当A，B₁，D三点共线时，AD-B₁D=AB₁，此时AD-B₁D有最大值，最大值为AB₁的长度．此时，点D在直线AB₁上）
根据题意由A（2，-5），B₁（5，-1）代入可得直线AB₁的解析式为：y=x-，
∴当AD-BD有最大值时，点D的坐标为（，0）．
分析：（1）根据“两点之间，线段最短”可以推知，当点A、C、B三点共线时，AC+BC的值最小．所以作B关于y轴的对称点B′，连结AB′交y轴于点C．利用待定系数法求得A′B直线解析式，则根据解析式即可求得点C的坐标；
（2）根据“三角形两边之差小于第三条边”来找点D：作点B关于x轴的对称点B₁，连结AB₁延长交x轴于D．当A，B₁，D三点共线时，AD-B₁D=AB₁，此时AD-B₁D有最大值，最大值为AB₁的长度．此时，点D在直线AB₁上．
点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间线段最短以及三角形的三边关系等知识点．解题时，注意作图所依据的公理以及相关图形的性质．