Question

【题目】如图，在中，为边的中点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点以和为边作，设点的运动时间为(秒)，的面积为(平方单位)．

（1）当点与点重合时，求的值；

（2）用含的代数式表示的长；

（3）求与之间的函数关系式；

（4）连结直接写出将分成面积相等的两部分时的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】

（1）先利用勾股定理计算出AC长，在算出动点Q的路径长，再算出时间t；

（2）先分类讨论，分别讨论点Q在边BC上和边CD上，再利用相似三角形的性质表示出的长；

（3）由（2）得的长，再分类讨论得出所对的高的长度，根据平行四边形的面积公式计算即可；

（4）若将分成面积相等的两部分，则有线段PQ的中点E在直线BD上，再将点E的坐标代入直线BD的解析式，解方程即可．

解：（1）

由勾股定理可得：

D为边的中点

当点与点重合时，

（2）当点在边BC上时，

此时，，即

即

当点在边CD上时，

此时，，即

即

综上所述：．

（3）当点在边BC上，即时，

由（2）知

当点在边CD上，即时，

由（2）知，

即

综上所述：．

（4）以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立如图所致平面直角坐标系，

当点在边BC上时，

由题设条件可知：，，，

易得：PQ中点E的坐标为

直线BD的解析式为

若将分成面积相等的两部分，

则此时点E在直线BD上，

将代入，得：

解得：

当点在边CD上时，

由题设条件可知：，，，

易得：PQ中点E的坐标为

直线BD的解析式为

若将分成面积相等的两部分，

则此时点E在直线BD上，

将代入，得：

解得：