Question

【题目】有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

(1)如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形；

(2)如图2，已知，点在的垂直平分线上，在边上，是内一点， 连接，，，，若四边形是邻余四边形，是邻余线.

①与有什么位置关系？说明理由．

②判断形状，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①；②是等边三角形.

【解析】

（1）方法1：通过等腰三角形三线合一得到，，进而得到与互余，即得证.方法2：由等腰三角形性质得到，由角平分线性质得到，进而得到，即得证；（2）①根据邻余四边形性质可得到∠B=60°，与∠AED相等，故；②由垂直平分线性质得到AB=AC，又∠B=60°，故△ABC为等边三角形.

解：(1)方法1：，

是的角平分线，

，

，

，

与互余.

四边形是邻余四边形；

方法2：，

，

是的角平分线，

，

四边形是邻余四边形；

(2)①.

理由：四边形是邻余四边形，

是邻余线，

，

，

，

，

②是等边三角形.

理由：点在的垂直平分线上，

，

又，

是等边三角形.