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    2．如果抛物线的顶点C1在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2互相关联．
    （1）已知抛物线①y=x2+2x-1，则抛物线②y=-x2+2x+1；③y=x2+2x+1已知抛物线①互相关联的有②（填序号即可）．
    （2）如图所示的是抛物线C1：y=$\frac{1}{8}$（x+1）2-2，将抛物线C1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联．
    ①求抛物线C2的解析式．
    ②当t＜0时，若点A为抛物线C1的顶点，点B为抛物线C2的顶点，在y轴上是否存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）首先求出抛物线①的顶点坐标，代入抛物线②、③中进行验证，然后再求得抛物线②、③的顶点坐标代入①中进行验证，根据定义的抛物线关联条件即可进行判断．
    （2）①根据新定义，若抛物线C1、C2关联，它们的顶点坐标在对方的函数图象上；抛物线C1绕点P旋转180°后，所得C2的顶点与抛物线C1的顶点关于点P对称，显然它们的纵坐标到直线y=2的距离相等（点P在直线y=2上），可据此求出抛物线C2的顶点纵坐标，代入抛物线C1的解析式后即可求出抛物线C2的顶点，将C2的解析式设为顶点式，再将C1的顶点坐标代入其中即可确定抛物线C2的解析式．
    ②根据相似三角形的判定与性质，可得答案．

    解答 解：（1）∵抛物线①y=x2+2x-1=（x+1）2-2，其顶点坐标为M（-1，-2）．
    经验算，点M在抛物线②上，不在抛物线③上，所以，抛物线①与抛物线③不是关联的；
    抛物线②y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，其顶点坐标为N1（1，2），
    经验算点N1在抛物线①上，所以抛物线①、②是关联的，物线①与抛物线③不是关联的，
    故答案为：②．

    （2）①如图，
    抛物线C1：y=$\frac{1}{8}$（x+1）2-2，的顶点M的坐标为（-1，-2），
    因为动点P的坐标为（t，2），所以点P在直线y=2上，
    作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，则ME=NF=4，所以点N的纵坐标为6．
    当y=6时，$\frac{1}{8}$（x+1）2-2=6，解之得，x1=7，x2=-9．
    ∴N（7，6）或N（-9，6）．
    设抛物线C2的抛物线为y=a（x-7）2+6．
    因为点M（-1，-2）在抛物线C2上，
    ∴-2=a（-1-7）2+6，a=-$\frac{1}{8}$．
    ∴抛物线C2的解析式为y=-$\frac{1}{8}$（x-7）2+6；
    设抛物线C2的抛物线为y=a（x+9）2+6．
    因为点M（-1，-2）在抛物线C2上，
    ∴-2=a（-1+9）2+6，a=-$\frac{1}{8}$．
    ∴抛物线C2的解析式为y=-$\frac{1}{8}$（x-7）2+6或y=-$\frac{1}{8}$（x+9）2+6；
    ②存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，理由如下：
    如图1，
    当t＜0时，A（-1，-2），B（-9，6），点C为y轴上的点，可设点C的坐标为（0，c），
    过点B作BE⊥y轴，过点A作AF⊥y轴，
    若∠ACB=90°，则∠BCE+∠CBE=∠BCE+∠ACF=90°，
    ∴∠CBE=∠ACF，又∵∠BEC=∠CFA=90°，
    ∴△BCE∽△CAF，
    ∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{BE}{CF}$，即$\frac{6-c}{1}$=$\frac{9}{c+2}$，
    解得c1=2+$\sqrt{7}$，c2=2-$\sqrt{7}$，
    ∴存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，此时C（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，2-$\sqrt{7}$）．

    点评 本题考查了二次函数综合题，此题以新定义的形式考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移与旋转等知识，充分理解新定义的含义是解题的关键；（2）①题中，无论函数图象怎样平移或旋转，抓住开口方向、开口大小、顶点坐标即可正确得到新函数的解析式．②利用相似三角形的判定与性质是解题关键．

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