Question

12．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到AB=AC=AD，于是得到点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角定理得到∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD=30°，∠BDC=$\frac{1}{2}∠$BAC，过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥BD于F，得到∠CAE=∠BCD，根据全等三角形的性质得到DF=AE，CF=CE=1，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵AB=AC=5，△ABC是等边三角形，
∴AC=AD=5，
∴AB=AC=AD，
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∵∠CAD=60°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD=30°，∠BDC=$\frac{1}{2}∠$BAC，
过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥BD于F，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}∠BAC$，∠AEC=∠CFD=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△ACE与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCD}\\{∠AEC=∠DFC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DFC，
∴DF=AE，CF=CE=1，
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴BD=BF+DF=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{3}$+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．