Question

1．一艘船自西向东航行，在A得到消息，在其北偏东60°方向，距离20海里的B点，测得有一暗礁群在以点B为圆心，10$\sqrt{2}$海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险？如果有危险，轮船至少要偏离原来航线多少度，才能保证航线的安全？

Answer 1

分析 过B作BC⊥AM于C，则BC的长是A沿AM方向距离B点的最短距离，求出BC长和10$\sqrt{2}$比较可得出轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险；设安全航向为AN，作BD⊥AN于点D，解Rt△BAD，求出∠BAD=45°，则∠CAN=∠BAD-∠BAC=15°．

解答 解：过B作BC⊥AM于C，则∠BCA=90°，且BC的长是A沿AM方向距离B点的最短距离．
在Rt△ABC中，
∵∠BCA=90°，∠BAC=90°-60°=30°，AB=20海里，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=10海里＜10$\sqrt{2}$海里，
∴轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险；
为了安全，应改变航行方向，并且保证点B到航线的距离不小于暗礁的半径10$\sqrt{2}$海里，
即这个距离至少为10$\sqrt{2}$海里，
设安全航向为AN，作BD⊥AN于点D，
在Rt△BAD中，∵AB=20海里，BD=10$\sqrt{2}$海里，
∴sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{10\sqrt{2}}{20}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BAD=45°，
∴∠CAN=∠BAD-∠BAC=45°-30°=15°．
答：轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行，才能安全通过这一海域．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．