Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．

（1）求证：△ABC≌△ABF;
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，

∵∠E=∠EFA，

∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中，

，

∴△ABC≌△ABF.

（2）

解：当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．

证明：∵∠CAB=60°，

∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，

∴EF=AD=AE，

∴四边形ADFE是菱形．

【解析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．
【考点精析】掌握菱形的判定方法和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．