Question

18．已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，它与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点B（0，b），A，B间的距离为10，且上a，b是关于x的方程x²-（4m-2）x+16（m-1）=0的两个实数根，求这个一次函数的解析式．

Answer 1

分析 根据方程根与系数的关系和勾股定理求得m=4，进而通过解方程求得a，b的值，从而求得一次函数的解析式．

解答 解；∵a，b是关于x的方程x²-（4m-2）x+16（m-1）=0的两个实数根，a²+b²=10²，
∴a+b=4m-2，ab=16（m-1），
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=（4m-2）²，
∵A（a，0），B（0，b）是直线y=kx+b与坐标轴的交点，且A，B间的距离为10，
∴a²+b²=10²，
∴100+2×16（m-1）=（4m-2）²，
解得m₁=4，m₂=-1（不合题意，舍去）
∴m=4，
∴方程为x²-14x+48=0，
解得x₁=12，x₂=2，
∴a=12或2，b=2或12，
∵k=-$\frac{b}{a}$，
∴一次函数的解析式为y=-6x+12或y=-$\frac{1}{6}$x+2．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系的关系，勾股定理的应用以及解一元二次方程等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．