Question

19．点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足为E、F，设D为BC的中点．
（1）猜想△DEF的形状，并证明你的猜想．
（2）若点P在BC边的延长线上运动时，（1）中结论是否成立，并证明你的猜想．
（3）点P在BC边上运动时，四边形AEDF的面积是否变化？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）连接AD，可得到AD=BD，结合等腰直角三角形的性质可得到BE=AF，∠DAF=∠B=45°，可证明△AFD≌△BED，可得到DE=DF，且能证明∠EDF=90°，可判定△DEF的形状；
（2）连接AD，同（1）可证明结论；
（3）当P在BC边上运动时，由（1）可得△AFD≌△BED，可得S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△AFD=S_△BED+S_△AED=S_△ABD不变．

解答 解：
（1）△DEF为等腰直角三角形，
证明如下：
连接AD，如图1，

∵△ABC为等腰三角形，D为BC中点，
∴∠CAD=∠B=45°，AD=BD=CD，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF为矩形，
∴PE=AF，
∵∠B=45°，
∴PE=BE，
∴AF=BE，
在△AFD和△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠DAF=∠B}\\{AD=BD}\end{array}\right.$
∴△AFD≌△BED（SAS），
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵AD⊥BC，
∴∠BDE+∠EDA=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；
（2）结论仍然成立．
证明如下：
连接AD，如图2，

同（1）可得AD=BD，∠DAC=∠ABC=45°，
∴∠FAD=∠EBD=135°，
且可得四边形AEPF为矩形，
∴PE=AF=BE，
在△ADF和△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠FAD=∠EBD}\\{AF=BE}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴DE=DF，且∠EBD=∠ADF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠EDF=∠EDB+∠BDF=∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；
（3）不变．
证明如下：
由（1）可得△AFD≌△BED，
∴S_△AFD=S_△BED，
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△AFD=S_△BED+S_△AED=S_△ABD，
即四边形AEDF的面积不变．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等．在（1）、（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中注意利用三角形全等则三角形的面积相等．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．