Question

11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形；
②四边形CDEF不可能四边都相等；
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①④⑤
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 ①连接CF，证明△ADF≌△CEF，可以得出结论正确；
②当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形；所以此结论不正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，求出最小值，所以此结论不正确；
④根据两三角形全等时面积也相等得：S_△CEF=S_△ADF，利用割补法知：S_{四边形CDFE}=S_△AFC，F是定点，所以△AFC的面积是定值，即四边形CDFE的面积保持不变；
⑤当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，计算S_△CDE=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF，代入即可．

解答 解：①连接CF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵F是AB边上的中点，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠ACF=∠BCF=45°，
∴∠AFC=90°，
∴∠A=∠BCF，
在△ADF和△CEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠BCF}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC=90°，
即∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
所以此结论正确；
②当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
如图2，∵E是BC的中点，F是AB边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∵CD=$\frac{1}{2}$AC，CE=$\frac{1}{2}$BC，AC=BC，
∴CD=CE，
∵∠C=90°，
∴四边形CDFE是正方形，
但已知点D、E分别在AC、BC边上运动，并不能一直保持D、E分别是AC、BC的中点，所以四边形CDEF不可能四边都相等；
所以此结论不正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=$\frac{1}{2}$BC=4．
∴DE=$\sqrt{2}$DF=4$\sqrt{2}$；
所以此结论不正确；
④∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四边形CDFE}=S_△AFC．
∴四边形CDFE的面积保持不变；
所以此结论正确；
⑤当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∵∠C=90°，AC=BC=8，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
∴AF=CF=4$\sqrt{2}$，
此时S_△CDE=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{2}$×$4\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$×4×4=16-8=8．
则结论正确的是①④⑤．
故选C．

点评 本题是三角形的综合题，难度适中，此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第③问中，由DF的最值来确定DE的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握．