Question

如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E．AE平分∠BAC．设∠B=x（单位：度），∠C=y（单位：度）．
（1）求y随x变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请讨论当△ABC为等腰三角形时，∠B为多少度？

Answer 1

解：（1）∵DE 垂直平分AB，
∴∠BAE=∠B=x，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2x，
∴y=180-3x，
自变量x的取值范围是：0＜x＜60．

（2）解：显然，AC≠BC，
若 AB=AC，此时，x=y，
即：180-3x=x，
得：x=45（度）；
若 AB=BC，此时，2x=y，
即：180-3x=2x，
得：x=36（度）．
∴当△ABC为等腰三角形时，∠B分别为45°或36°．
分析：（1）根据线段的垂直平分线求出∠BAE的度数，求出∠BAC即可；
（2）AB=AC时，得出180-3x=x，求出即可；AB=BC时，得出180-3x=2x，求出即可．
点评：本题考查了等腰三角形性质，线段的垂直平分线性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，解（1）小题关键是求出∠CAB的度数，解（2）小题的关键是根据AB=AC和AB=BC得出方程，本题用了方程思想，题目比较典型，难度不大．