Question

11．如图，在半径为1的扇形AOB中∠AOB=45°，P为弧AB上一动点（不与A，B重合），以OP为对角线作正方形OEPF，分别交OA，OB于M，N，给出以下结论：
①当点P为弧AB中点时，△OFN≌△OEM；
②当点P为弧AB终点时，MN∥EF；
③当P在弧AB上运动时，EM+NF=MN；
④当P在弧AB上运动时，∠PNM=45°．
其中所有正确结论的序号是①②③．

Answer 1

分析 连接OP，由$\widehat{BP}=\widehat{AP}$得出∠BOP=∠AOP，由正方形的性质得出OF=PF=PE=OE，∠EOF=∠OFN=∠OEM=90°，∠POF=∠POE=45°，得出∠FON=∠EOM，由ASA即可证明△OFN≌△OEM，得出①正确；
由△OFN≌△OEM，得出FN=EM，得出PN=PM，因此PN：FN=PM：EM，即可证出MN∥EF；得出②正确；
延长ME至D，使ED=NF，连接OD；先证明△OED≌△OFN，得出OD=ON，∠EOD=∠FON，证出∠MOD=∠MON，由SAS证明△MOD≌△MON，得出MD=MN，即可得出EM+NF=MN，得出③正确；
由于点P在弧AB上运动，因此∠PNM不一定等于45°，得出④不正确．

解答 解：①正确；理由如下：连接OP，如图1所示：
∵点P为弧AB中点，
∴$\widehat{BP}=\widehat{AP}$，
∴∠BOP=∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=22.5°，
∵四边形OEPF是正方形，
∴OF=PF=PE=OE，∠EOF=∠OFN=∠OEM=90°，∠POF=∠POE=45°，
∴∠FON=∠EOM，
在△OFN和△OEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OFN=∠OEM}&{\;}\\{OF=OE}&{\;}\\{∠FON=∠EOM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OFN≌△OEM（ASA）；
②正确；理由如下：
∵△OFN≌△OEM，
∴FN=EM，
∴PN=PM，
∴PN：FN=PM：EM，
∴MN∥EF；
③正确；延长ME至D，使ED=NF，连接OD；如图2所示：
则∠OED=90°，
在△OED和△OFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}&{\;}\\{∠OED=∠OFN=90°}&{\;}\\{ED=FN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OFN（SAS），
∴OD=ON，∠EOD=∠FON，
∴∠NOD=90°，
∵∠AOB=45°，
∴∠MOD=45°，
∴∠MOD=∠MON，
在△MOD和△MON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=ON}&{\;}\\{∠MOD=∠MON}&{\;}\\{OM=OM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MOD≌△MON（SAS），
∴MD=MN，
即EM+ED=MN，
∴EM+NF=MN；
④不正确；∵点P在弧AB上运动，
∴∠PNM不一定等于45°；
正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是③中，需要通过作辅助线证明两次三角形全等才能得出结论．