Question

13．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S₁、S₂、S₃，如果S₂是S₁和S₃的比例中项，求OD的长．

Answer 1

分析 （1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD²=AC•CD，列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

在△AOB和△AOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{AB=AC}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠C=∠B，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=∠B，
∵∠ADO=∠ADB，
∴△OAD∽△ABD．

（2）如图2中，①当∠ODC=90°时，

∵BD⊥AC，OA=OC，
∴AD=DC，
∴BA=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=AC=2AD=$\sqrt{3}$．
②∠COD=90°，∠BOC=90°，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
③∠OCD显然≠90°，不需要讨论．
综上所述，BC=$\sqrt{3}$或$\sqrt{2}$．

（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．

∵△DAO∽△DBA，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{OD}{AD}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴$\frac{AD}{x+1}$=$\frac{x}{AD}$=$\frac{1}{AB}$，
∴AD=$\sqrt{x（x+1）}$，AB=$\frac{\sqrt{x（x+1）}}{x}$，
∵S₂是S₁和S₃的比例中项，
∴S₂²=S₁•S₃，
∵S₂=$\frac{1}{2}$AD•OH，S₁=S_△OAC=$\frac{1}{2}$•AC•OH，S₃=$\frac{1}{2}$•CD•OH，
∴（$\frac{1}{2}$AD•OH）²=$\frac{1}{2}$•AC•OH•$\frac{1}{2}$•CD•OH，
∴AD²=AC•CD，
∵AC=AB．CD=AC-AD=$\frac{\sqrt{x（x+1）}}{x}$-$\sqrt{x（x+1）}$，
∴（$\sqrt{x（x+1）}$）²=$\frac{\sqrt{x（x+1）}}{x}$•（$\frac{\sqrt{x（x+1）}}{x}$-$\sqrt{x（x+1）}$），
整理得x²+x-1=0，
解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
经检验：x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是分式方程的根，且符合题意，
∴OD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
（也可以利用角平分线的性质定理：$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DO}{OB}$，黄金分割点的性质解决这个问题）

点评 本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．