Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+2经过点A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S_△ABC=$\frac{2}{3}$S_△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过点A（-1，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×5×2=5，
∵S_△ABC=$\frac{2}{3}$S_△ABD，
∴S_△ABD=$\frac{3}{2}$×5=$\frac{15}{2}$，
设D（x，y），
∴$\frac{1}{2}$AB•|y|=$\frac{1}{2}$×5|y|=$\frac{15}{2}$，解得|y|=3，
当y=3时，由-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=-3时，由-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-3，解得x=-2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，-3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，-3）；
（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，

由题意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AO}{OM}$=$\frac{AC}{CF}$，即$\frac{1}{OM}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，解得OM=2，$\frac{OC}{FM}$=$\frac{AC}{AF}$，即$\frac{2}{FM}$=$\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y=kx+m，则可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+m=6}\\{4k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线BE解析式为y=-3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+12}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴E（5，-3），
∴BE=$\sqrt{（5-4）^{2}+（-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．