Question

10．如图，直线y=-$\frac{2}{3}$x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）∵y=-$\frac{2}{3}$x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0=-2+c，解得c=2，
∴B（0，2），
∵抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c经过点A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-12+3b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{10}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x+2；

（2）①由（1）可知直线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，-$\frac{2}{3}$m+2），N（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2），
∴PM=-$\frac{2}{3}$m+2，AM=3-m，PN=-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2-（-$\frac{2}{3}$m+2）=-$\frac{4}{3}$m²+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{PN}{PM}$，即$\frac{m}{3-m}$=$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}+4m}{-\frac{2}{3}m+2}$，解得m=0（舍去）或m=2.5，
∴M（2.5，0）；
当∠NBP=90°时，则有$\frac{PN}{PA}$=$\frac{BP}{MP}$，
∵A（3，0），B（0，2），P（m，-$\frac{2}{3}$m+2），
∴BP=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{2}{3}m+2-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$m，AP=$\sqrt{（m-3）^{2}+（-\frac{2}{3}m+2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$（3-m），
∴$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}+4m}{\frac{\sqrt{13}}{3}（3-m）}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{3}m}{-\frac{2}{3}m+2}$，解得m=0（舍去）或m=$\frac{11}{8}$，
∴M（$\frac{11}{8}$，0）；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（$\frac{11}{8}$，0）；
②由①可知M（m，0），P（m，-$\frac{2}{3}$m+2），N（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2），
∵M，P，N三点为“共谐点”，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时，则有2（-$\frac{2}{3}$m+2）=-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=$\frac{1}{2}$；
当M为线段PN的中点时，则有-$\frac{2}{3}$m+2+（-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=-1；
当N为线段PM的中点时，则有-$\frac{2}{3}$m+2=2（-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2），解得m=3（舍去）或m=-$\frac{1}{4}$；
综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为$\frac{1}{2}$或-1或-$\frac{1}{4}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．