Question

7．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCF，再利用三角形外角性质得∠EBF=∠A+∠E，由三角形内角和定理得∠EBF=180°-∠BCF-∠F，所以∠A+∠E=180-∠A-∠F，然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°-$\frac{1}{2}$α；
（2）利用（1）中的结论进行计算．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°-∠BCF-∠F，
∴∠A+∠E=180°-∠BCF-∠F，
∴∠A+∠E=180-∠A-∠F，
即2∠A=180°-（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°-$\frac{1}{2}$α；
（2）当α=60°时，∠A=90°-$\frac{1}{2}$×60°=60°．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．