Question

如图，已知二次函数y=-x²+mx+4m的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x₁+x₂）-x₁x₂=10．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；
（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由根与系数的关系，得
∵（x₁+x₂）-x₁x₂=10，
∴m+4m=10，m=2．
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+8．

（2）由-x²+2x+8=0，解得x₁=-2，x₂=4．
y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9．
∴B，C，M的坐标分别为B（4，0），C（0，8），M（1，9）．

（3）如图，过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3．
∵OH=t（1＜t＜4），∴BH=4-t．
由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），
∴S=（PH+CO）•OH
=（12-3t+8）t
=-t²+10t（1＜t＜4）．
S=-t²+10t=-（t-）²+．
∵1＜＜4．
∴当t=时，S有最大值，其最大值为．
分析：（1）由根与系数的关系，得到x₁和x₂的关系式进而求出m的值，所以可求此二次函数的解析式；
（2）令y=0解一元二次方程，可求出B，C两点的坐标；把二次函数的解析式为y=-x²+2x+8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标；
（3）过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3，再由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），所以S=-t²+10t=-（t-）²+可求出四边形PCOH的面积S最大值．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．