Question

3．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，EF是圆O的切线，E是切点，AF⊥EF，垂足是F，AE平分∠FAB吗？为什么？探索：你能探究出线段AE与AF、AB之间的关系吗？

Answer 1

分析 连接BE．先证明∠AEB=∠AFE=90°，然后利用同角的余角相等可知∠FEA=∠BEO，由∠OEB=∠OBE，可得到∠FEA=∠EBO，从而可证明△AFE∽AEB．

解答 解：连接BE．

∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴∠AEB=∠AFE．
∵EF是圆O的切线，
∴∠FEO=90°．
∵∠BEO+∠OEA=90°，∠OEA+∠AEF=90°，
∴∠FEA=∠BEO．
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠FEA=∠EBO．
∴△AFE∽AEB．
∴∠FAE=∠EAB．
∴AE是∠FAB的平分线．
∵△AFE∽AEB，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AE}{AB}$．
∴AE²=AF•AB．

点评 本题主要考查的是切线的性质、相似三角形的性质和判定，证得△AFE∽AEB是解题的关键．