Question

24、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接PA、PC．
（1）证明：∠PAB=∠PCB；
（2）在BC上取一点E，连接PE，使得PE=PC，连接AE，判断△PAE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得AB=CB，∠ABD=∠CBD，又知BP=BP，即可证△ABP≌△CBP，于是得到PA=PC，∠PAB=∠PCB；
（2）根据PE=PC得到∠PEC=∠PCB，进而求出∠PAB=∠PEC，由E是BC上一点，∠PEB+∠PEC=180°求得∠PAB+∠PEB=180°，进而求出∠APE=90°，再根据PA=PC，PE=PC，求出PA=PE，于是证得△PAE是等腰直角三角形．

解答：（1）∵在正方形ABCD中，BD是对角线，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD．
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△CBP．
∴PA=PC，∠PAB=∠PCB．

（2）如图，△PAE是等腰直角三角形，理由如下：
∵PE=PC，
∴∠PEC=∠PCB．
又∵∠PAB=∠PCB，
∴∠PAB=∠PEC．
∵E是BC上一点，∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PAB+∠PEB=180°．
∵在四边形ABEP中，∠PAB+∠ABC+∠PEB+∠APE=360°，∠ABC=90°，
∴∠APE=90°．
∵PA=PC，PE=PC，
∴PA=PE．
∴△PAE是等腰直角三角形． （其他方法酌情给分）

点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定定理，此题难度不大．