Question

8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P运动到与点A重合时，点Q随之停止．设运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）记PQ与DB的交点为M，问：在点P整个运动过程中，点M的位置是否会发生改变？请说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，据此即可列方程求得；
（2）首先证明△QBM∽△PMD，利用相似三角形的对应边的比相等，求得BD和BM的长，即可求解；
（3）证明△QBM∽△DBC，利用相似三角形的对应边的比相等求得．

解答 解：（1）依题意得：t=21-2t，
解得：t=7．
答：当t=7时，四边形ABQP是平行四边形；
（2）如图，∵BQ∥PD
∴∠QBM=∠PDM，
又∵∠QMB=∠PMD，
∴△QBM∽△PMD，
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{BQ}{PD}$．
又∵BQ=t，PD=2t
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{1}{2}$．
在Rt△BDC中，BC=16，DC=12，
∴BD=20，
∴BM=$\frac{20}{3}$（定值）
∴在点P整个运动过程中，点M的位置不会发生改变．
（3）∵PQ⊥BD∠DCB=90°
∴∠BMQ=∠C，
又∵∠MBQ=∠CBD，
∴△QBM∽△DBC．
∴$\frac{BQ}{BD}=\frac{BM}{BC}$
由（2）可知，
∴BM=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{t}{20}=\frac{{\frac{20}{3}}}{16}$，
解得：t=$\frac{5}{6}$．
答：当t=$\frac{5}{6}$时，使得PQ⊥BD．

点评 本题考查平行四边形的判定与相似三角形的判定与性质，理解△QBM∽△PMD，△QBM∽△DBC是解题的关键．