Question

如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB，连接AF，BF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）①求∠ABF的度数；
②若AF=4，且AB平分∠OAF时，求弦AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结OB，如图，由CE=CB得到∠CBE=∠CEB，由CD⊥OA得到∠DAE+∠AED=90°，利用对顶角相等得∠CEB=∠AED，则∠DAE+∠CBE=90°，加上∠OAB=∠OBA，所以∠OBA+∠CBE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）①连结OF，OF交AB于H，如图，由DF⊥OA，AD=OD，根据等腰三角形的判定得FA=FO，而OF=OA，所以△OAF为等边三角形，则∠AOF=60°，于是根据圆周角定理得∠ABF=

1

2

∠AOF=30°；
②由△OAF为等边三角形得到∠OAF=60°，OA=AF=4，而AB平分∠OAF，所以∠OAB=30°，AH⊥OF，根据垂径定理得AH=BH，接着在Rt△AOH中计算出AH=

3

OH=

3

，所以AB=2AH=2

3

．

解答：（1）证明：连结OB，如图，
∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB，
∵CD⊥OA，
∴∠DAE+∠AED=90°，
而∠CEB=∠AED，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①连结OF，OF交AB于H，如图，
∵DF⊥OA，AD=OD，
∴FA=FO，
而OF=OA，
∴△OAF为等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=

1

2

∠AOF=30°；
②∵△OAF为等边三角形，
∴∠OAF=60°，OA=AF=4，
∵AB平分∠OAF，
∴∠OAB=30°，AH⊥OF，
∴AH=BH，
在Rt△AOH中，∵∠OAH=30°，
∴OH=

1

2

OA=2，
AH=

3

OH=

3

，
∴AB=2AH=2

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理和垂径定理．