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    如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．点为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．记AP=x，△PBC的面积为S．
    （1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
    （2）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    （3）当点P在线段AB上移动时，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使△PAC成为等腰三角形的x的值；如果不可能，请说明理由．
    考点：一次函数综合题
    专题：
    分析：（1）根据∠OPC=90°和同角的余角相等，我们可得出△OPM和△PCN中两组对应角相等，要证两三角形全等，必须有相等的边参与，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么△AMP也是个等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我们可得出OM=PN，由此我们可得出两三角形全等．
    （2）分两种情况进行讨论：①点C在第一象限时，②点C在第四象限时．分别利用S=S△PBC=
    1
    2
    BC•PN求解即可．
    （3）要分两种情况进行讨论：①当C在第一象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此时P与A重合，那么P的坐标就是A的坐标．②当C在第四象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PB=BC，在等腰RT△PBN中，我们可以用x表示出BP的长，也就表示出了BC的长，然后根据（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用这两个含未知数x的式子得出关于x的方程来求出x的值．那么也就求出了PM、OM的长，也就得出了P点的坐标．
    解答：证明：（1）如图，

    ∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°
    ∴四边形OBNM为矩形
    ∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
    ∵OA=OB，
    ∴∠1=∠3=45°
    ∵MN∥OB
    ∴∠2=∠3=45°
    ∴∠1=∠2=45°，
    ∴AM=PM
    ∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
    ∴OM=PN
    ∵∠OPC=90°，
    ∴∠4+∠5=90°，
    又∵∠4+∠6=90°，
    ∴∠5=∠6
    ∴△OPM≌△PCN
    （2）解：①点C在第一象限时，
    ∵AM=PM=APsin45°=
    		2
    2
    x
    ∴OM=PN=1-
    		2
    2
    x，
    ∵△OPM≌△PCN
    ∴CN=PM=
    		2
    2
    x，
    ∴BC=OM-CN=1-
    		2
    2
    x-
    		2
    2
    x=1-
    		2
    x，
    ∴S=S△PBC=
    1
    2
    BC•PN=
    1
    2
    ×（1-
    		2
    2
    x）•（1-
    		2
    x）=
    1
    2
    x2-
    3
    		2
    2
    x+
    1
    2
    （0≤x＜
    		2
    2
    ）．
    ②如图1，点C在第四象限时，

    ∵AM=PM=APsin45°=
    		2
    2
    x
    ∴OM=PN=1-
    		2
    2
    x，
    ∵△OPM≌△PCN
    ∴CN=PM=
    		2
    2
    x，
    ∴BC=CN-OM=
    		2
    2
    x-（1-
    		2
    2
    x）=
    		2
    x-1，
    ∴S=S△PBC=
    1
    2
    BC•PN=
    1
    2
    ×（1-
    		2
    2
    x）•（
    		2
    x-1）=
    1
    2
    x2-
    3
    		2
    2
    x+
    1
    2
    （
    		2
    2
    ＜x＜
    		2
    ）．
    （3）解：△PBC可能成为等腰三角形
    ①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
    ②如图，当点C在第四象限，且PB=CB时

    有BN=PN=1-
    		2
    2
    x
    ∴BC=PB=
    		2
    PN=
    		2
    -x
    ∴NC=BN+BC=1-
    		2
    2
    x+
    		2
    -x
    由（2）知：NC=PM=
    		2
    2
    x
    ∴1-
    		2
    2
    x+
    		2
    -x=
    		2
    2
    x
    整理得（
    		2
    +1）x=
    		2
    +1
    ∴x=1
    ∴PM=
    		2
    2
    x=
    		2
    2
    ，BN=1-
    		2
    2
    x=1-
    		2
    2
    ，
    ∴P（
    		2
    2
    ，1-
    		2
    2
    ）
    由题意可知PC=PB不成立
    ∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（
    		2
    2
    ，1-
    		2
    2
    ）．
    点评：本题考查了一次函数的综合题，涉及全等三角形的判定及等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键．
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    2
    15
    ÷（-2）=
     
    ．

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    k
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    ，
     
    ），C（
     
    ，
     
    ），
    ②求证：a=b（ ①中结论可直接用 ）；
    （2）如图（2），作正方形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，当S正方形BFGH=5时，求k；
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    1
    2
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