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    如图（1），正方形ABCD的顶点B、C在双曲线y=
    k
    x
    上，另两个顶点在坐标轴上，
    （1）设OA=a，OD=b，①请直接写出B、C的坐标（用a、b表示）：B（
     
    ，
     
    ），C（
     
    ，
     
    ），
    ②求证：a=b（ ①中结论可直接用 ）；
    （2）如图（2），作正方形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，当S正方形BFGH=5时，求k；
    （3）如图（3），作矩形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，BH：BF=2：1，当S矩形BFGH=17时，
    请直接写出k的值．
    考点：反比例函数综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质
    专题：综合题
    分析：（1）①过点C作CP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图（1），易证△CPD≌△DOA，△DOA≌△AQB，则有PC=OD=AQ=b，PD=OA=BQ=a，就可得到B、C的坐标；②把B、C两点坐标代入y=
    k
    x
    ，即可证到a=b；
    （2）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（2），则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．易证△BMF≌△HNB，则有MF=NB=a，从而可得到xH为3a，再根据B、H在双曲线y=
    k
    x
    上可求得yH=
    2a
    3
    ，从而有NH=a-
    2a
    3
    =
    a
    3
    ．由S正方形BFGH=5可求得BH2=5．在Rt△BNH中根据勾股定理可求得a2=
    9
    2
    ，由此可求出k的值；
    （3）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（3），则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．易证△BMF∽△HNB，根据相似三角形的性质可得NB=2MF=2a，从而得到xH为4a，再由B、H在双曲线y=
    k
    x
    上可得yH=
    a
    2
    ，则有NH=a-
    a
    2
    =
    a
    2
    ．由S矩形BFGH=17可得BH2=34．在Rt△BNH中根据勾股定理可求得a2=8，由此可求出k的值．
    解答：解：（1）①B（a+b，a）、Cb，a+b）．
    解题思路：过点C作CP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图（1），

    易证△CPD≌△DOA，△DOA≌△AQB，则有PC=OD=AQ=b，PD=OA=BQ=a，
    所以B（a+b，a）、Cb，a+b），
    故答案为：a+b、a、b、a+b；
    ②证明：∵B、C在双曲线y=
    k
    x
    上，
    ∴k=a（a+b）=b（a+b）．
    ∵a+b≠0，
    ∴a=b；

    （2）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（2），

    则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．
    ∵四边形BFGH是正方形，
    ∴BF=BH，∠FBH=90°，
    ∴∠MBF=180°-90°-∠NBH=90°-∠NBH=∠NHB．
    在△BMF和△HNB中，
    ∠MBF=∠NHB
    ∠FMB=∠BNH
    BF=HB
    ，
    ∴△BMF≌△HNB（SAS），
    ∴MF=NB=a，
    ∵点B的坐标为（a+b，a）即（2a，a），
    ∴xH=2a+a=3a，
    ∵B、H在双曲线y=
    k
    x
    上，
    ∴k=2a2=3a•yH，
    ∴yH=
    2a
    3
    ，
    ∴NH=a-
    2a
    3
    =
    a
    3
    ．
    ∵S正方形BFGH=5，
    ∴BH2=5．
    在Rt△BNH中，
    BH2=BN2+NH2=a2+（
    a
    3
    ）2=5．
    ∴a2=
    9
    2
    ，
    ∴k=2a2=9；

    （3）k的值为16．
    解题思路：设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（3），

    则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．
    易证△BMF∽△HNB，
    由MF=a，BH：BF=2：1可得NB=2MF=2a，
    则xH=2a+2a=4a，
    由B、H在双曲线y=
    k
    x
    上可得yH=
    a
    2
    ，
    则有NH=a-
    a
    2
    =
    a
    2
    ．
    由S矩形BFGH=17可得BH2=34．
    在Rt△BNH中根据勾股定理可求得a2=8，
    则k=2a2=16．
    点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质、矩形的性质等知识，构造K型全等及K型相似是解决本题的关键．
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    ，点B的对应点C的坐标为
     
    ．
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    （1）写出点Q的坐标的所有可能结果．
    （2）求点Q在双曲线y=-
    6
    x
    上的概率．
    （3）求点Q的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．

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    1
    2
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    ．

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