Question

1．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若CF=3，cosA=0.4，求出⊙O的半径和BE的长；
（3）连接CG，在（2）的条件下，求CG：EF的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；
（2）由三角函数求出半径，再由三角函数求出AE，即可得出答案；
（3）证明CG∥EF，得出比例式，即可得出答案．

解答 （1）证明：如图，连结OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线．

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD=$\frac{OD}{OF}$=0.4，
设⊙O的半径为R，$\frac{OD}{OF}$=0.4，则$\frac{R}{R+3}$=0.4，
解得R=2，
∴AB=2OD=4．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=$\frac{AE}{AF}=\frac{AE}{3+4}$=0.4，
∴AE=$\frac{14}{5}$，
∴BE=AB-AE=4-$\frac{14}{5}$=$\frac{6}{5}$；

（3）解：连接CG，则∠AGC=90^?，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90^?，
∴CG∥EF，
∴$\frac{CG}{EF}=\frac{AC}{AF}=\frac{2R}{2R+3}$=$\frac{2×2}{2×2+3}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．