Question

19．一个无盖长方体盒子的容积是V．
（1）如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？
（2）如果盒子底面是长为b、宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？
（3）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等．那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度．）

Answer 1

分析 （1）利用长方体体积公式表示出长方体的高，进而得出其表面积；
（2）利用长方体体积公式表示出长方体的高，进而得出其表面积；
（3）利用（1），（2）中所求，进而计算得出答案．

解答 解：（1）∵一个无盖长方体盒子的容积是V，盒子地面边长为a的正方形，
∴长方体盒子的高为：h=$\frac{V}{{a}^{2}}$，
∴这个盒子的外表面积S₁=a²+$\frac{V}{{a}^{2}}$×4a=a²+$\frac{4V}{a}$；

（2）∵一个无盖长方体盒子的容积是V，盒子底面是长为b，宽为c的长方形，
∴长方体盒子的高为：h=$\frac{V}{bc}$，
∴这个盒子的外表面积S₂=bc+$\frac{V}{bc}$×2（b+c）=bc+$\frac{2V（b+c）}{bc}$；

（3）∵盒子的底面积相等，
∴a²=bc，
∴这两个盒子的外表面积之差：
S₂-S₁=bc+$\frac{2V（b+c）}{bc}$-（a²+$\frac{4V}{a}$）=a²+$\frac{2V（b+c）}{{a}^{2}}$-a²-$\frac{4V}{a}$=$\frac{2v（b+c）-4av}{{a}^{2}}$=$\frac{2v（b+c-2a）}{{a}^{2}}$．

点评 此题主要考查了几何体的表面积，列代数式，根据长方体体积得出其高度是解题关键．