Question

【题目】已知结论：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，请利用这个结论进行下列探究活动.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=，D为AB中点，P为AC上一点，连接PD，把△APD沿PD翻折得到△EPD，连接CE.

（1）AB=_____,AC=______.

（2）若P为AC上一动点，且P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，设P点运动时间为t秒.

①当t=_____秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.

②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）4，6；（2）①；②存在，t=2或t=6.

【解析】

（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AB的长，利用勾股定理即可求出AC的长；（2）①根据平行四边形的性质可得AD//PE，AD=PE，根据折叠性质可得PE=AP，即可得AP=AD，由D为AB中点可得AD的长，即可得AP的长，进而可求出t的值；②分两种情况讨论：当BD为边时，设DE与PC相交于O，根据三角形内角和可得∠B=60°，根据平行四边形的性质可得CE=BD，CE//BD，BC//DE，可得∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，根据折叠性质可得∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，即可证明∠ADP=∠A，可得AP=PD=PE，可得∠PED=∠PDE=30°，即可得∠PEC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PC=2PE，利用勾股定理列方程可求出PE的长，即可得AP的长；当BD为对角线时，可证明平行四边形BCDE是菱形，根据菱形的性质可得∠DCE=30°，可证明DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，利用SAS可证明△ACD≌△ECD，可得AC=CE，根据翻折的性质可证明点P与点C重合，根据AC的长即可求出t值，综上即可得答案.

（1）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=，

∴AB=2BC=4，

∴AC==6.

故答案为：4，6

（2）①如图，∵D为AB中点，

∴AD=BD=AB，

∵BC=AB，

∴AD=BD=BC=，

∵ADEP是平行四边形，

∴AD//PE，AD=PE，

∵△APD沿PD翻折得到△EPD，

∴AP=PE，

∴AP=AD=，

∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，

∴t=.

故答案为：

②存在，理由如下：

i如图，当BD为边时，设DE与PC相交于O，

∵∠A=30°，∠ACB=90°，

∴∠B=60°，

∵四边形DBCE是平行四边形，

∴CE=BD，CE//BD，DE//BC，

∴∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，

∵△APD沿PD翻折得到△EPD，

∴∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，

∴∠PAD=∠PDA=30°，

∴AP=PD=PE，

∴∠PED=∠PDE=30°，

∴∠PEC=∠PED+∠DEC=90°，

∵∠ECP=30°，

∴PC=2PE，

∴PC2=PE2+EC2，即4PE2=PE2+()2

解得：PE=2或PE=-2（舍去），

∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，

∴t=2.

ii当BD为对角线时，

∵BC=BD=AD，∠B=60°，

∴△BCD都是等边三角形，

∴∠ACD=30°，

∵四边形DBCE是平行四边形，

∴平行四边形BCDE为菱形，

∴DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，

又∵CD=CD，

∴△ACD≌△ECD，

∴AC=CE，

∴△ECD是△ACD沿CD翻折得到，

∵△APD沿PD翻折得到△EPD，

∴点P与点C重合，

∴AP=AC=6.

∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，

∴t=6.

故当t=2或t=6时，以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形.