【题目】如图,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BE⊥CE,垂足是E,BE交AC于点D,F是BE上一点,AF⊥AE,且C是线段AF的垂直平分线上的点,AF=2,则DF=______.
【答案】3
【解析】解:连接CF,作AG⊥FE于G,过C作CH⊥AF于H.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∵BE⊥EC,∴∠EBC+∠BCE=90°,∴∠EBC+∠ACE=45°.∵∠ABE+∠CBE=45°,∴∠ABF=∠ACE.∵∠BAC=∠FAE=90°,∴∠BAF=∠CAE.在△ABF和△ACE中,∵∠BAF=∠CAE,AB=AC,∠ABF=∠ACE,∴△ABF≌△ACE,∴BF=CE,AF=AE,∴△AFE是等腰直角三角形.∵AG⊥FE,∴FG=GE,AG=FG.∵AF=,∴AG=FG=GE=2.设CH与FE交于M点.∵CH⊥AF,C是线段AF的垂直平分线上的点,∴AH=FH=.∵∠AFE=45°,FM=FH=2.∵FG=2,∴M与G重合,即CH过点G.∵CH⊥FA,EA⊥FA,∴CH∥EA.∵AG⊥FE,CE⊥BE,∴AG∥EC,∴四边形AGCE是平行四边形,∴GD=DE=1,∴FD=FG+DG=2+1=3.故答案为:3.
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【题目】如图,在△ABC中,DE垂直平分BC,垂足为点D,交AB于点E,且AD=AC,EC交AD于点F,下列说法:
①△ABC∽△FDC;②点F是线段AD的中点;③S△AEF:S△AFC=1:4;④若CE平分∠ACD,则∠B=30°,其中正确的结论有_____(填写所有正确结论的序号).
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【题目】如图,将矩形纸片ABCD分别沿AE、CF折叠,若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上,下列说法:①四边形AECF为菱形,②∠AEC=120°,③若AB=2,则四边形AECF的面积为,④AB:BC=1:2,其中正确的说法有_____.(只填写序号)
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【题目】已知结论:在直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半,请利用这个结论进行下列探究活动.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=,D为AB中点,P为AC上一点,连接PD,把△APD沿PD翻折得到△EPD,连接CE.
(1)AB=_____,AC=______.
(2)若P为AC上一动点,且P点从A点出发,沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动,设P点运动时间为t秒.
①当t=_____秒时,以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.
②在P点运动过程中,是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】有两个不透明的袋子分别装有红、白两种颜色的球(除颜色不同外其余均相同),甲袋中有2个红球和1个白球,乙袋中有1个红球和3个白球.
(1)如果在甲袋中随机摸出一个小球,那么摸到红球的概率是______.
(2)如果在乙袋中随机摸出两个小球,那么摸到两球颜色相同的概率是______.
(3)如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球,那么摸到两球颜色相同的概率是多少?(请用列表法或树状图法说明)
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【题目】在数学课上,老师出了这样一道题:甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h,已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。求高铁列车从甲地到乙地的时间.老师要求同学先用列表方式分析再解答.下面是两个小组分析时所列的表格:
小组甲:设特快列车的平均速度为xkm/h.
小组乙:高铁列车从甲地到乙地的时间为yh
(1)根据题意,填写表格中空缺的量;(2)结合表格,选择一种方法进行解答.
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【题目】第二届全国青年运动会将于2019年8月在太原开幕,这是山西历史上第一次举办全国大型综合性运动会,必将推动我市全民健康理念的提高.某体育用品商店近期购进甲、乙两种运动衫各50件,甲种用了2000元,乙种用了2400元.商店将甲种运动衫的销售单价定为60元,乙种运动衫的销售单价定为88元.该店销售一段时间后发现,甲种运动衫的销售不理想,于是将余下的运动衫按照七折销售;而乙种运动衫的销售价格不变.商店售完这两种运动衫至少可获利2460元,求甲种运动衫按原价销售件数的最小值.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于C,BE∥CO.
(1)求证:BC是∠ABE的平分线;
(2)若DC=8,⊙O的半径OA=6,求CE的长.
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