Question

17．已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EF⊥AD交AD的延长线于F，交AB的延长线于G，求证：BD=2BG．

Answer 1

分析 在AC上截取AN=AB，延长GF交AC于M，过B作BH∥AC交GF于H，连接DN，根据角平分线的定义得到∠BAF=∠CAF，由垂直的定义得到∠AFG=∠AFM，推出△AGF≌△AMF，根据全等三角形的性质得到AG=AM，∠G=∠AMF，证得△ABD≌△AND，由全等三角形的性质得到BD=DN，∠ABD=∠AND，由∠ABC=2∠C，等量代换得到∠AND=2∠C根据等腰三角形的性质得到DN=NC=BD，根据平行线的性质得到∠HBC=∠C，推出△BEH≌△CEM，由全等三角形的性质得到BH=MC，∠BHM=∠CMH求得∠G=∠BHG，得到BG=BH，即可得到结论．

解答 证明：在AC上截取AN=AB，延长GF交AC于M，过B作BH∥AC交GF于H，连接DN，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∵EF⊥AD，
∴∠AFG=∠AFM，
在△AGF与△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠MAF}\\{AF=AF}\\{∠AFG=∠AFM}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AMF，
∴AG=AM，∠G=∠AMF，
∵AB=AN，
∴BG=MN，
在△ABD与△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AN}\\{∠BAD=∠NAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AND，
∴BD=DN，∠ABD=∠AND，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠AND=2∠C，
∵∠AND=∠C+∠NDC，
∴∠NDC=∠C，
∴DN=NC=BD，
∵BH∥AC，
∴∠HBC=∠C，∠BHF=∠CMF，
在△BEH与△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBE=∠C}\\{BE=CE}\\{∠BEH=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△CEM，
∴BH=MC，∠BHM=∠CMH，
∴180°-∠BHM=180°-∠CMH，
即：∠BHG=∠AMF，
∴∠G=∠BHG，
∴BG=BH，
∴BG=BH=MC=MN，
∴NC=2CM，
∵NC=DN=BD，CM=BH=BG，
∴BD=2BG．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．