Question

【题目】（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．

（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】【（1）证明见解析；（2）当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是．

【解析】

试题（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．

试题解析：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴ ABCD=ABPM+ACPN，∴PM+PN=CD，即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

（2）设BP=x，则CP=2﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），∴四边形AMPN的面积=×（2﹣x）x+×[2﹣（2﹣x）] （2﹣x）= =，∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是．