Question

7．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且∠AEF=90°，求证：CF=$\frac{1}{4}$AB．

Answer 1

分析 设正方形ABCD的边长为2a，由E为BC中点，得到BE=CE=a，根据勾股定理得到AE²=AB²+BE²=5a²，设CF=x，则DF=2a-x，由∠C=∠D=90°，根据勾股定理列方程得到4a²+（2a-x）²=5a²+a²+x²，解得x=$\frac{1}{2}$a，于是得到结论．

解答 证明：设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为BC中点，∴BE=CE=a，
∵∠B=90°，∴AE²=AB²+BE²=5a²，
设CF=x，则DF=2a-x，由∠C=∠D=90°，
得 AF²=AD²+DF²=4a²+（2a-x）²，EF²=CE²+CF²=a²+x²，
∵∠AEF=90°，∴AF²=AE²+EF²，
即 4a²+（2a-x）²=5a²+a²+x²，解得x=$\frac{1}{2}$a，
∴CF=$\frac{1}{4}$AB，

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．