Question

28、如图，点O是等边△ABC内一点，且OA=5，OB=4，OC=3，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，回答下列问题：
（1）判断△COD的形状，并说明理由；
（2）判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）根据（1）、（2）你能计算出∠BOC的度数吗？

Answer 1

分析：（1）△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，根据旋转的性质得到CO=CD，∠OCD=60，即可判断△COD的形状；
（2）△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，根据旋转的性质得到AD=OB=4，由（1）得OD=OC=3，而OA=5，根据勾股定理的逆定理即可得到△OAD为直角三角形；
（3）根据（1）、（2）能计算出∠BOC的度数．因为∠ADO=90°，∠ODC=60°．

解答：解：（1）△COD为等边三角形．理由如下：
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60，
∴△COD为等边三角形．
（2）∴△OAD为直角三角形，且∠ADO=90°．理由如下：
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴AD=OB=4，
由（1）得OD=OC=3，
在△OAD中，OA=5，∴OA²=AD²+OD²，
∴△OAD为直角三角形，且∠ADO=90°；
（3）根据（1）、（2）能计算出∠BOC的度数．
由（1）得到△COD为等边三角形，∴∠ODC=60°；
由（2）得到△OAD为直角三角形，且∠ADO=90°，
∴∠BOC=60°+90°=150°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．