Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x²+bx+c经过点B，且顶点在直线上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；

Answer 1

（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）

∴c=4，

∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；

∴所求函数关系式为；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，    ∴AB=，

∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）

当x=5时，y=，当x=2时，y=，

∴点C和点D都在所求抛物线上；

（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，

则，解得：，    ∴，

当x=时，y=，  ∴P（）