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【题目】如图1所示,已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D,与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,E为对称轴上的一点,连接CE,将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后,点C的对应点C′恰好落在y轴上.

(1)直接写出D点和E点的坐标;
(2)点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点,点H是抛物线上C与F之间的一个动点,若过点H作直线HG与y轴平行,且与直线C′E交于点G,设点H的横坐标为m(0<m<4),那么当m为何值时,S△HGF:S△BGF=5:6?
(3)图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的,点T(5,y)在抛物线上,点P是抛物线上O与T之间的任意一点,在线段OT上是否存在一点Q,使△PQT是等腰直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵抛物线y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9

∴D点的坐标是(2,9);

∵E为对称轴上的一点,

∴点E的横坐标是:﹣=2,

设点E的坐标是(2,m),点C′的坐标是(0,n),

∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后,点C的对应点C′恰好落在y轴上,

∴△CEC′是等腰直角三角形,

解得(舍去),

∴点E的坐标是(2,3),点C′的坐标是(0,1).

综上,可得D点的坐标是(2,9),点E的坐标是(2,3).


(2)

解:如图1所示:

令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得:x2﹣4x﹣5=0,

解得:x1=﹣1,x2=5,

所以点A(﹣1,0),B(5,0).

设直线C′E的解析式是y=kx+b,将E(2,3),C′(0,1),代入得

解得:

∴直线C′E的解析式为y=x+1,

将y=x+1与y=﹣x2+4x+5,联立得:

解得:

∴点F得坐标为(4,5),点A(﹣1,0)在直线C′E上.

∵直线C′E的解析式为y=x+1,

∴∠FAB=45°.

过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF,垂足分别为N、M.

∴∠HMN=90°,∠ADN=90°.

又∵∠NAD=∠HNM=45°.

∴△HGM∽△ABN

∵SHGF:SBGF=5:6,

,即

∴HG=5.

设点H的横坐标为m,则点H的纵坐标为﹣m2+4m+5,则点G的坐标为(m,m+1),

∴﹣m2+4m+5﹣(m+1)=5.

解得:m1=,m2=


(3)

解:由平移的规律可知:平移后抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4(x﹣1)+5=﹣x2+6x.

将x=5代入y=﹣x2+6x得:y=5,

∴点T的坐标为(5,5).

设直线OT的解析式为y=kx,将x=5,y=5代入得;k=1,

∴直线OT的解析式为y=x,

①如图2所示:当PT∥x轴时,△PTQ为等腰直角三角形,

将y=5代入抛物线y=﹣x2+6x得:x2﹣6x+5=0,

解得:x1=1,x2=5.

∴点P的坐标为(1,5).

将x=1代入y=x得:y=1,

∴点Q的坐标为(1,1).

②如图3所示:

由①可知:点P的坐标为(1,5).

∵△PTQ为等腰直角三角形,

∴点Q的横坐标为3,

将x=3代入y=x得;y=3,

∴点Q得坐标为(3,3).

③如图4所示:

设直线PT解析式为y=kx+b,

∵直线PT⊥QT,

∴k=﹣1.

将k=﹣1,x=5,y=5代入y=kx+b得:b=10,

∴直线PT的解析式为y=﹣x+10.

将y=﹣x+10与y=﹣x2+6x联立得:x1=2,x2=5

∴点P的横坐标为2.

将x=2代入y=x得,y=2,

∴点Q的坐标为(2,2).

综上所述:点Q的坐标为(1,1)或(3,3)或(2,2).


【解析】(1)首先根据抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D,求出点D的坐标是多少即可;然后设点E的坐标是(2,m),点C′的坐标是(0,n),根据△CEC′是等腰直角三角形,求出E点的坐标是多少即可.
(2)令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得:x2﹣4x﹣5=0可求得A、B的坐标,然后再根据SHGF:SBGF=5:6,得到:,然后再证明△HGM∽△ABN,,从而可证得,所以HG=5,设点H(m,﹣m2+4m+5),G(m,m+1),最后根据HG=5,列出关于m的方程求解即可;
(3)分别根据∠P、∠Q、∠T为直角画出图形,然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可.

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頻数分布表

组别

焦点话题

频数(人数)

A

医疗卫生

100

B

食品安全

m

C

教育住房

40

D

社会保障

80

E

生态环境

n

F

其他

60

请根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)填空:m= , n= . 扇形统计图中E组,F组所占的百分比分别为
(2)该市现有人口大约800万,请你估计其中关注B组话题的人数;
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表1

一班

5

8

8

9

8

10

10

8

5

5

二班

10

6

6

9

10

4

5

7

10

8

表2

班级

平均数

中位数

众数

方差

及格率

优秀率

一班

7.6

8

a

3.82

70%

30%

二班

b

7.5

10

4.94

80%

40%


(1)在表2中,a= ,b=
(2)有人说二班的及格率、优秀率均高于一班,所以二班比一班好;但也有人认为一班成绩比二班好,请你给出坚持一班成绩好的两条理由;
(3)一班、二班获满分的中同学性别分别是1男1女、2男1女,现从这两班获满分的同学中各抽1名同学参加“汉字听写大赛”,用树状图或列表法求出恰好抽到1男1女两位同学的概率.

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