【题目】如图1所示,已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D,与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,E为对称轴上的一点,连接CE,将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后,点C的对应点C′恰好落在y轴上.
(1)直接写出D点和E点的坐标;
(2)点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点,点H是抛物线上C与F之间的一个动点,若过点H作直线HG与y轴平行,且与直线C′E交于点G,设点H的横坐标为m(0<m<4),那么当m为何值时,S△HGF:S△BGF=5:6?
(3)图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的,点T(5,y)在抛物线上,点P是抛物线上O与T之间的任意一点,在线段OT上是否存在一点Q,使△PQT是等腰直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9
∴D点的坐标是(2,9);
∵E为对称轴上的一点,
∴点E的横坐标是:﹣=2,
设点E的坐标是(2,m),点C′的坐标是(0,n),
∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后,点C的对应点C′恰好落在y轴上,
∴△CEC′是等腰直角三角形,
∴
解得或(舍去),
∴点E的坐标是(2,3),点C′的坐标是(0,1).
综上,可得D点的坐标是(2,9),点E的坐标是(2,3).
(2)
解:如图1所示:
令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得:x2﹣4x﹣5=0,
解得:x1=﹣1,x2=5,
所以点A(﹣1,0),B(5,0).
设直线C′E的解析式是y=kx+b,将E(2,3),C′(0,1),代入得,
解得:,
∴直线C′E的解析式为y=x+1,
将y=x+1与y=﹣x2+4x+5,联立得:,
解得:,,
∴点F得坐标为(4,5),点A(﹣1,0)在直线C′E上.
∵直线C′E的解析式为y=x+1,
∴∠FAB=45°.
过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF,垂足分别为N、M.
∴∠HMN=90°,∠ADN=90°.
又∵∠NAD=∠HNM=45°.
∴△HGM∽△ABN
∴,
∵S△HGF:S△BGF=5:6,
∴.
∴,即,
∴HG=5.
设点H的横坐标为m,则点H的纵坐标为﹣m2+4m+5,则点G的坐标为(m,m+1),
∴﹣m2+4m+5﹣(m+1)=5.
解得:m1=,m2=.
(3)
解:由平移的规律可知:平移后抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4(x﹣1)+5=﹣x2+6x.
将x=5代入y=﹣x2+6x得:y=5,
∴点T的坐标为(5,5).
设直线OT的解析式为y=kx,将x=5,y=5代入得;k=1,
∴直线OT的解析式为y=x,
①如图2所示:当PT∥x轴时,△PTQ为等腰直角三角形,
将y=5代入抛物线y=﹣x2+6x得:x2﹣6x+5=0,
解得:x1=1,x2=5.
∴点P的坐标为(1,5).
将x=1代入y=x得:y=1,
∴点Q的坐标为(1,1).
②如图3所示:
由①可知:点P的坐标为(1,5).
∵△PTQ为等腰直角三角形,
∴点Q的横坐标为3,
将x=3代入y=x得;y=3,
∴点Q得坐标为(3,3).
③如图4所示:
设直线PT解析式为y=kx+b,
∵直线PT⊥QT,
∴k=﹣1.
将k=﹣1,x=5,y=5代入y=kx+b得:b=10,
∴直线PT的解析式为y=﹣x+10.
将y=﹣x+10与y=﹣x2+6x联立得:x1=2,x2=5
∴点P的横坐标为2.
将x=2代入y=x得,y=2,
∴点Q的坐标为(2,2).
综上所述:点Q的坐标为(1,1)或(3,3)或(2,2).
【解析】(1)首先根据抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D,求出点D的坐标是多少即可;然后设点E的坐标是(2,m),点C′的坐标是(0,n),根据△CEC′是等腰直角三角形,求出E点的坐标是多少即可.
(2)令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得:x2﹣4x﹣5=0可求得A、B的坐标,然后再根据S△HGF:S△BGF=5:6,得到:,然后再证明△HGM∽△ABN,,从而可证得,所以HG=5,设点H(m,﹣m2+4m+5),G(m,m+1),最后根据HG=5,列出关于m的方程求解即可;
(3)分别根据∠P、∠Q、∠T为直角画出图形,然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在刚刚闭幕的2016全国“两会”,民生话题依然是社会焦点,某市记者为了了解百姓对“两会民生话题”的聚焦点,随机调查了部分市民,并对调查结果进行整理.绘制了如图所示的统计图表(不完整).
頻数分布表
组别 | 焦点话题 | 频数(人数) |
A | 医疗卫生 | 100 |
B | 食品安全 | m |
C | 教育住房 | 40 |
D | 社会保障 | 80 |
E | 生态环境 | n |
F | 其他 | 60 |
请根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)填空:m= , n= . 扇形统计图中E组,F组所占的百分比分别为、
(2)该市现有人口大约800万,请你估计其中关注B组话题的人数;
(3)若在这次接受调查的市民中,随机抽查一人,则此人关注A组话题的概率是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”,对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试.计分采用10分制(得分均取整数),成绩达到6分或6分以上为及格,得到9分为优秀,成绩如表1所示,并制作了成绩分析表(表2).
表1
一班 | 5 | 8 | 8 | 9 | 8 | 10 | 10 | 8 | 5 | 5 |
二班 | 10 | 6 | 6 | 9 | 10 | 4 | 5 | 7 | 10 | 8 |
表2
班级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 | 及格率 | 优秀率 |
一班 | 7.6 | 8 | a | 3.82 | 70% | 30% |
二班 | b | 7.5 | 10 | 4.94 | 80% | 40% |
(1)在表2中,a= ,b= ;
(2)有人说二班的及格率、优秀率均高于一班,所以二班比一班好;但也有人认为一班成绩比二班好,请你给出坚持一班成绩好的两条理由;
(3)一班、二班获满分的中同学性别分别是1男1女、2男1女,现从这两班获满分的同学中各抽1名同学参加“汉字听写大赛”,用树状图或列表法求出恰好抽到1男1女两位同学的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况,随机抽取一部分学生进行问卷调查,统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图:
请根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)共抽取名学生进行问卷调查;
(2)补全条形统计图,求出扇形统计图中“篮球”所对应的圆心角的度数;
(3)该校共有2500名学生,请估计全校学生喜欢足球运动的人数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某班抽查25名学生数学测验成绩(单位:分),频数分布直方图如图:
(1)成绩x在什么范围的人数最多?是多少人?
(2)若用半径为2的扇形图来描述,成绩在60≤x<70的人数对应的扇形面积是多少?
(3)从相成绩在50≤x<60和90≤x<100的学生中任选2人.小李成绩是96分,用树状图或列表法列出所有可能结果,求小李被选中的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,水平放置一个三角板和一个量角器,三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上,AB=BC=6cm,OD=3cm,开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动.
(1)当B与O重合的时候,求三角板运动的时间;
(2)如图2,当AC与半圆相切时,求AD;
(3)如图3,当AB和DE重合时,求证:CF2=CGCE.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】定义运算max{a,b}:当a≥b时,max{a,b}=a;当a<b时,max{a,b}=b.如max{﹣3,2}=2.
(1)max{,3}= ;
(2)已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示,若max{,k2x+b}=,结合图象,直接写出x的取值范围;
(3)用分类讨论的方法,求max{2x+1,x﹣2}的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com