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已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+3
(1)证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上;
(2)若抛物线与x轴交于M、N两点,当OM•ON=3,且OM≠ON时,求抛物线的解析式;
(3)若(2)中所求抛物线顶点为C,与y轴交点在原点上方,抛物线的对称轴与x轴交于点B,直线y=-x+3与x轴交于点A.点P为抛物线对称轴上一动点,过点P作PD⊥AC,垂足D在线段AC上.试问:是否存在点P,使S△PAD=
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S△ABC?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)y=-x2+2mx-m2-m+3=-(x-m)2-m+3,
∴顶点坐标为(m,-m+3),
∴顶点在直线y=-x+3上.

(2)∵抛物线与x轴交于M、N两点,
∴△>0,
即:(2m)2-4(m2+m-3)>0,
解得:m<3,
∵OM•ON=3,
∴m2+m-3=±3,
当m2+m-3=-3时,m2+m=0,
∴m=0,m=-1,
∴当m=0时,y1=-x2+3(与OM≠ON矛盾,舍),
∴m=-1,y1=-x2-2x+3,
当m2+m-3=3时,m2+m-6=0,
∴m=2,m=-3,
∴y2=-x2+4x-3,y3=-x2-6x-3.

(3)∵抛物线与y轴交点在原点的上方
∴y=-x2-2x+3,
∴C(-1,4),B(-1,0),
∵直线y=-x+3与x轴交于点A,
∴A(3,0),
∵BA=BC,
∴∠PCD=45°,
∴设PD=DC=x,
则PC=
2
x,AD=4
2
-x,
∵S△PAD=
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S△ABC
1
2
(4
2
-x)•x=
1
4
×
1
2
×4×4,x2-4
2
x+4=0;
解得:x=2
2
±2;
当x=2
2
+2时,PC=
2
x=4+2
2

∴4-yP=4+2
2

∴yP=-2
2

∴P(-1,-2
2
),
当x=2
2
-2时,PC=4-2
2

∴yP=2
2

∴P(-1,2
2
),
∴P(-1,2
2
)或P(-1,-2
2
).
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线C经过原点,对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M,与x轴相交于点N,且tan∠MON=3.
(1)求抛物线C的解析式;
(2)将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′,抛物线C′与x轴的另一交点为A,B为抛物线C′上横坐标为2的点.
①若P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D,求△APD面积的最大值;
②过线段OA上的两点E,F分别作x轴的垂线,交折线O-B-A于点E1,F1,再分别以线段EE1,FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2,等边△FF1F2.点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动,点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动.当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,直线y=
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x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B点重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m;
①用含有m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(0,-3),C(3,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,求sin∠BOD的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

平移二次函数y=2x2的图象,使它经过(-1,0),(2,-6)两点.
(1)求这时图象对应的函数关系式.
(2)求出抛物线的顶点坐标和对称轴.
(3)画出该函数的图象.(温馨提示:把坐标系画全,可要记住列表哟)
x-10123
y0-6-8-60
(4)x为何值时,y随x的增大而减小.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系;点P是OA边上的动点(与点O、A不重合),现将△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE、PF重合.
(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P、C、D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;
(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?
(3)在(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q,使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在一边靠墙(墙足够长)用120m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是______m、______m.

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xC2
(1)求点C的坐标;
(2)①命题“如图2,以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上,NPMQ,PQP1Q1,且NP>MQ.设抛物线y=a0x2+h0过点P、Q,抛物线y=a1x2+h1过点P1、Q1,则h0>h1”是真命题.请你以Q(3,5)、P(4,3)和Q1(p,5)、P1(p+1,3)为例进行验证;
②当图1中的线段BC在第一象限时,作线段BC关于y轴对称的线段FE,连接BF、CE,点T是线段BF上的动点(如图3);设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点,求K的纵坐标yK的取值范围.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

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(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;
(2)当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?

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