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    如图，在平面直角坐标系中，直线y=
    1
    2
    x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
    （1）求a、b及sin∠ACP的值；
    （2）设点P的横坐标为m；
    ①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
    ②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
    （1）由
    1
    2
    x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
    由
    1
    2
    x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
    ∵y=ax2+bx-3经过A、B两点，
    ∴
    (-2)2•a-2b-3=0
    42•a+4b-3=3

    ∴
    a=
    1
    2
    b=-
    1
    2
    ，
    则抛物线的解析式为：y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-3，
    设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
    ∵PC∥y轴，
    ∴∠ACP=∠AEO．
    ∴sin∠ACP=sin∠AEO=
    OA
    AE
    =
    2
    		5
    =
    2
    		5
    5
    ．

    （2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-3．则点P（m，
    1
    2
    m2-
    1
    2
    m-3）．
    已知直线AB：y=
    1
    2
    x+1，则点C（m，
    1
    2
    m+1）．
    ∴PC=
    1
    2
    m+1-（
    1
    2
    m2-
    1
    2
    m-3）=-
    1
    2
    m2+m+4=-
    1
    2
    （m-1）2+
    9
    2

    Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-
    1
    2
    （m-1）2+
    9
    2
    ]•
    2
    		5
    5
    =-
    		5
    5
    （m-1）2+
    9
    		5
    5

    ∴PD长的最大值为：
    9
    		5
    5
    ．

    ②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
    ∵sin∠ACP=
    2
    		5
    5
    ，
    ∴cos∠ACP=
    1
    		5
    ，
    又∵∠FDP=∠ACP
    ∴cos∠FDP=
    DF
    DP
    =
    1
    		5
    ，
    在Rt△PDF中，DF=
    1
    		5
    PD=-
    1
    5
    （m2-2m-8）．
    又∵BG=4-m，
    ∴
    S△PCD
    S△PBC
    =
    DF
    BG
    =
    -
    1
    5
    (m2-2m-8)
    4-m
    =
    1
    5
    (m-4)(m+2)
    m-4
    =
    m+2
    5
    ．
    当
    S△PCD
    S△PBC
    =
    m+2
    5
    =
    9
    10
    时，解得m=
    5
    2
    ；
    当
    S△PCD
    S△PBC
    =
    m+2
    5
    =
    10
    9
    时，解得m=
    32
    9
    ．
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    下表给出了一个二次函数的一些取值情况：
    x…0…2…4…
    y…3…-1…3…
    （1）求这个二次函数的解析式，并求出其图象与x轴的交点坐标；
    （2）请在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象；
    （3）根据其图象写出x取何值时，y＞0．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为（1，-
    4
    		3
    3
    ），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-
    		3
    ）．
    （1）求抛物线的表达式．
    （2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
    （3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小？若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax2-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
    （1）求点C、D的纵坐标．
    （2）求a、c的值．
    （3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
    （4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
    （1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；
    （2）以AD为直径的圆经过点C．
    ①求抛物线的解析式；
    ②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=x2+8x-
    39
    4
    的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有______个．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，某同学在探究二次函数图象时，作直线y=m平行于x轴，交二次函数y=x2的图象于A、B两点，作AC、BD分别垂直于x轴，发现四边形ABCD是正方形．
    （1）求m的值及A、B两点的坐标；
    （2）如图所示，将抛物线“y=x2”改为“y=x2-2x+2”，直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行，其它关系不变，求m的值及A、B两点的坐标．
    （3）如图所示，将图中的改为“y=ax2+bx+c（a＞0），其它关系不变，请直接写出m的值及A、B两点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）
    [提示：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ），对称轴为x=-
    b
    2a
    ]．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+3
    （1）证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上；
    （2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当OM•ON=3，且OM≠ON时，求抛物线的解析式；
    （3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y=-x+3与x轴交于点A．点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在线段AC上．试问：是否存在点P，使S△PAD=
    1
    4
    S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，英华学校准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为24m的篱笆，一面靠墙（墙长为10m），设花圃宽AB为x（m），面积为S（m2）．
    （1）求S与x的函数关系式；
    （2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少；
    （3）能围出比45m2更大的花圃吗？若能，求出最大的面积；若不能，请说明理由．

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