Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于D，H为AO上一动点，直线l⊥AO于H，交AB、AC、BC于N、E、M，求∠ABC和∠EMB的关系．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：分类讨论

分析：分①点E在AC上，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠ANH=∠AEH，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EMB+∠CEM=∠ACB，∠EMB+∠B=∠ANH，然后整理即可得解；②点E、C、M重合时，∠EMB不存在；③点E在AC的延长线上时，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠ANH=∠AEH，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠B+∠BMN=∠ANH，∠AEH+∠EMC=∠ACB，然后整理即可得解．

解答：解：①如图1，点E在AC上，
∵直线l⊥AO，AO是∠BAC的平分线，
∴∠ANH=∠AEH，
∵∠EMB+∠CEM=∠ACB，∠EMB+∠B=∠ANH，∠CEM=∠AEH（对顶角相等），
∴∠ACB-∠EMB=∠EMB+∠B，
∴∠ACB-∠B=2∠EMB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠ACB-∠B=∠B，
∴∠B=2∠EMB；
②点E、C、M重合时，∠EMB不存在；
③如图2，点E在AC的延长线上时，同①可得，∠ANH=∠AEH，
∠B+∠BMN=∠ANH，∠AEH+∠EMC=∠ACB，
∴∠B+∠BMN=∠ACB-∠EMC，
∴∠ACB-∠B=∠BMN+∠EMC，
∵∠ACB=2∠B，∠BMN=∠CME=180°-∠EMB，
∴∠B=2（180°-∠EMB），
∴∠EMB=180°-

1

2

∠B．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于分情况讨论．