Question

如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA=4，且OA、OB长是关于x的方程x²﹣mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM并延长交x轴于N．
（1）求⊙M的半径．
（2）求线段AC的长．
（3）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线．

Answer 1

(1) ;(2) ；（3）证明见解析.

解析试题分析：（1）由OA、OB长是关于x的方程x²﹣mx+12=0的两实根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB为⊙M的直径，即可得到⊙M的半径．
（2）连接OC，根据OB是⊙M直径，得到OC⊥BC，利用面积相等得到OC•AB=OA•OB可以求得OC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．
（3）连MD，OC，由OB为⊙M的直径，得∠OCB=90°，则∠OCD=90°，由于D为OA的中点，所以CD=OA=OD，因此可证明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切线．
试题解析：（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA•OB长是x²﹣mx+12=0的两根
∴OA•OB=12∴OB=3  故B（0，3）
∵OB为直径
∴半径MB=;
（2）连接OC

∵OB是⊙M直径
∴OC⊥BC
∴OC•AB=OA•OB
∵AB=="5"
∴OC•5=3•4
∴OC= 
∴AC= 
（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO
又CD是Rt△OCA斜边上中线
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC
∴CD是⊙M的切线             
考点：一次函数综合题．