如图1若△ABC和△ADE为等边三角形.M.N分别EB.CD的中点.易证:CD=BE.△AMN是等边三角形． (1)当把△ADE绕A点旋转到图2位置时.CD=BE是否仍然成立?若成立请证明.若不成立请说明理由, (2)当△ADE绕A点旋转到图3位置时.△AMN是否还是等边三角形?若是.请给出证明.并求出当AB=2AD时.△ADE与△ABC及△AMN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图3位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

解：（1）CD=BE．理由如下:　

∵△ABC和△ADE为等边三角形

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60^o

∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60^o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60^o－∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD

∴CD=BE

（2）△AMN是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分别是BE、CD的中点，

∴BM=

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60^o

∴△AMN是等边三角形．

设AD=a，则AB=2a．

∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．

∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120^o， ∠ADE=60^o，

∴∠EDC=∠ECD=30^o ， ∴∠ADC=90^o．

∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30^o ， ∴ CD=．

∵N为DC中点，

∴， ∴．

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S_△_ADE∶S_△_ABC∶ S_△_AMN

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．

∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ，

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60^o

∴△AMN是等边三角形

设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a

易证BE⊥AC，∴BE=，

∴ ∴

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形

∴S_△_ADE∶S_△_ABC∶ S_△_AMN

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