【题目】函数y1=kx2+ax+a的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),函数y2=kx2+bx+b,的图象与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),其中k≠0,a≠b.
(1)求证:函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上;
(2)若AB=CD,求a,b和k应满足的关系式;
(3)是否存在函数y1和y2,使得B,C为线段AD的三等分点?若存在,求的值,若不存在,说明理由
【答案】(1) 见解析;(2) a+b=4k ;(3) =或
【解析】
(1)使两个函数关系式相等,根据已知求出x的值即可判断;
(2)表示出A、B、C、D的坐标,求出AB、CD,列方程求解即可;
(3)方法与(2)相同,利用三等分点条件,列方程求解即可.
(1)当y1=y2时,kx2+ax+a=kx2+bx+b,
∵a≠b,
∴x=﹣1,
∴函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上;
(2)若AB=CD则xB﹣xA=xD﹣xC,
A、B、C、D为抛物线与x轴的交点,可得
xA=,xB=,
xC=,xD=,
代入xB﹣xA=xD﹣xC得
-=-,
所以a+b=4k;
(3)因为B、C为线段AD的三等分点,
当点B在点C左侧时,BC=CD,则有xC﹣xD=xC﹣xB,
∴2xC=xD+xB,
∴2×=+,
整理得:a2+b2+14ab=0,
∴()2++1=0,
解得=或;
当点C在点B左侧时,AC=BC,则有xC﹣xA=xB﹣xC,
∴2xC=xA+xB,
∴2×=+,
即=,
整理得:a-b=,
∵a+b=4k,
∴a-b=,
即a-b=,
a2+b2-ab=0,
∴()2-+1=0,
△<0,方程无解,
综上,的值为或.
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【题目】某商场购进一种每件价格为90元的新商品,在商场试销时发现:销售单价元件与每天销售量件之间满足如图所示的关系.
求出y与x之间的函数关系式;
写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式,并求出售价定为多少时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠CAB的平分线交⊙O于点D,过点D作ED⊥AE,垂足为E,交AB的延长线于F.
(1)求证:ED是⊙O的切线;
(2)若AD=4,AB=6,求FD的长.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=80°,点D,E分别在边AB,AC上,且DA=DE=CE.
(1)求作点F,使得四边形BDEF为平行四边形;(要求:尺规作图,保留痕迹,不写作法)
(2)连接CF,写出图中经过旋转可完全重合的两个三角形,并指出旋转中心和旋转角.
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【题目】为支持国货,郑州格东律师事务所准备购买若干台华为电脑和华为手机奖励优秀员工.如果购买1台电脑,2部手机,一共需要花费10200元;如果购买2台电脑,1部手机一共需要花费13200元.
(1)求每台华为电脑和每部华为手机的价格分别是多少元?
(2)财务张经理交代会记小李,购买华为电脑和手机一共50台/部,并且手机部数不少于电脑台数的4倍,那么小李最多应准备多少钱?
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【题目】某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:级:优秀;级:良好;级:及格;级:不及格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样测试的学生人数是 ;
(2)如图中的度数是 ,并把如图条形统计图补充完整;
(3)测试老师想从4位同学(分别记为,其中为小明)中随机选择两位同学了解训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明概率.
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【题目】已知□ABCD的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程方程的两个实数根.
(1)试说明:无论m取何值,原方程总有两个实数根;
(2)当m为何值时,□ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;
(3)若AB﹦2,求BC的长.
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【题目】已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),请你直接写出BM、DN和MN的数量关系:__________.
(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请写出直接写出结论.
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