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【题目】函数y1kx2+ax+a的图象与x轴交于点AB(点A在点B的左侧),函数y2kx2+bx+b,的图象与x轴交于点CD(点C在点D的左侧),其中k≠0ab

1)求证:函数y1y2的图象交点落在一条定直线上;

2)若ABCD,求abk应满足的关系式;

3)是否存在函数y1y2,使得BC为线段AD的三等分点?若存在,求的值,若不存在,说明理由

【答案】(1) 见解析;(2) a+b4k ;(3)

【解析】

(1)使两个函数关系式相等,根据已知求出x的值即可判断;

(2)表示出ABCD的坐标,求出ABCD,列方程求解即可;

(3)方法与(2)相同,利用三等分点条件,列方程求解即可.

(1)y1y2时,kx2+ax+akx2+bx+b

ab

x=﹣1

函数y1y2的图象交点落在一条定直线上;

(2)ABCDxBxAxDxC

ABCD为抛物线与x轴的交点,可得

xAxB

xCxD

代入xBxAxDxC

-=-

所以a+b4k

(3)因为BC为线段AD的三等分点,

当点B在点C左侧时,BC=CD,则有xCxDxCxB

∴2xCxD+xB

∴2×+

整理得:a2+b2+14ab0

∴()2++10

解得

当点C在点B左侧时,AC=BC,则有xCxAxBxC

∴2xCxA+xB

∴2×+

整理得:a-b=

a+b=4k

a-b=

a-b=

a2+b2-ab0

∴()2-+10

<0,方程无解,

综上,的值为.

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