Question

（2011•延平区质检）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，CA=8，DB=4，点E在AB上，过O作OF⊥OE于O，OF=

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OE，连接FB．
（1）求证：∠AEO=∠BFO
（2）当点E在线段AB上运动时，请写出一个反映BE²，BF²，EF²之间关系的等式，并说明理由；
（3）当点E在线段AB的延长线上运动时，如图，此时（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=4，OB=2，则∠AOB=90°，而∠EOF=90°，利用等角的余角相等得到∠AOE=∠BOF，又OA：OB=OE：OF=2：1，根据三角形相似的判定得到△OAE∽△OBF，根据三角形相似的性质即可得到结论；
（2）由（1）中△OAE∽△OBF得∠OAE=∠OBF，而∠OAE+∠ABO=90°，则∠ABO+∠OBF=90°，即△BEF为直角三角形，根据勾股定理即可得到BE²+BF²=EF²；
（3）同（1）一样可证得△OAE∽△OBF，再与（2）证明方法一样可得到BE²+BF²=EF²．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，CA=8，DB=4，
∴AC⊥BD，OA=4，OB=2，
∴∠AOB=90°，
而OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵OF=

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OE，
∴OA：OB=OE：OF=2：1，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠AEO=∠BFO；

（2）BE²+BF²=EF²．理由如下：
由（1）中△OAE∽△OBF，
∴∠OAE=∠OBF，
∴∠ABO+∠OBF=90°，
∴△BEF为直角三角形，
∴BE²+BF²=EF²；

（3）BE²+BF²=EF²依然成立．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，CA=8，DB=4，
∴AC⊥BD，OA=4，OB=2，
而OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵OF=

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OE，
∴OA：OB=OE：OF=2：1，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠OAE=∠OBF，
∴△BEF为直角三角形，
∴BE²+BF²=EF²．

点评：本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角．也考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．