Question

6．已知a₁=$\frac{x}{x+2}$，a₂=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$，…a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，其中n是正整数，则a₈的值为（　　）

• A． $\frac{x}{15x+16}$
• B． $\frac{x}{127x+128}$
• C． $\frac{x}{255x+256}$
• D． $\frac{x}{511x+512}$

Answer 1

分析 根据公式依次计算出a₂、a₃、a₄，从而得出a_n=$\frac{x}{（{2}^{n}-1）x+{2}^{n}}$，据此可得．

解答 解：∵a₁=$\frac{x}{x+2}$，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{\frac{x}{x+2}}{\frac{x}{x+2}+2}$=$\frac{x}{3x+4}$，
a₃=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+2}$=$\frac{x}{7x+8}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{3}+2}$=$\frac{\frac{x}{7x+8}}{\frac{x}{7x+8}+2}$=$\frac{x}{15x+16}$，
…
∴a₈=$\frac{x}{（{2}^{8}-1）x+{2}^{8}}$=$\frac{x}{255x+256}$，
故选：C．

点评 本题主要考查数字的变化类和分式的混合运算，根据题意得出a_n=$\frac{x}{（{2}^{n}-1）x+{2}^{n}}$是解题的关键．