Question

25、如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AC=8，AD：BC=5：3，试求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据同圆的半径相等得到∠OAC=∠OCA，运用等量代换的方法即可证明；
（2）根据（1）中的圆周角相等即可得到它们所对的弧相等，则等弧对等弦，即BC=CD．再根据勾股定理即可求解．

解答：证明：（1）∵OC∥AB
∴∠OCA=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC=∠BAC
即AC平分∠DAB；

（2）∵AC平分∠DAB，
∴弧CD=弧BC
∴CD=BC
又AD：BC=5：3
∴AD：CD=5：3
∵AD是圆的直径，∴∠ACD=90°
根据勾股定理，得AD：CD：AC=5：3：4
所以AD=10，即圆的半径是5．

点评：此题综合运用了平行线的性质、等边对等角、圆周角定理的推论、等弧对等弦、以及勾股定理．